I denne artikel listes de typiske faldgruber ved svingningsanalyser via finite element metoden (FEM). De fleste faldgruber er universelle, men de illustreres med eksempler fra Strusofts FEM-Design. De aktuelle analysemetoder i FEM-Design er Eigenfrequencies og Footfall analysis.
1. Footfall opsætning
1a. Dæmpning
Dæmpningen kan ikke beregnes og baseres derfor på opslagsværker (fx EN 1991-1-1 DK NA:2024 [1]) eller på vibrationsmålinger. Det er afgørende at skelne mellem to forskellige måder at angive dæmpningen på:
- Det logaritmiske dekrement – angives typisk med symbolet δ, som fx anvendes i EN 1991-1-1 DK NA:2024 [1]
- Dæmpningsforholdet – angives typisk med symbolet ζ eller ξ, som fx anvendes i FEM-Design.
For små dæmpninger (ζ << 1), som typisk er gældende for bygningskonstruktioner, er sammenhængen mellem de to:
ζ ≈ δ / (2π)
Det vil altså sige at hvis der anvendes dæmpningen for stålkonstruktioner på δ = 0.05 fra EN 1991-1-1 DK NA:2024, skal dæmpningsforholdet på ζ ≈ 0.05 / (2π) = 0.8 % angives i FEM-Design.
Dæmpningen er afgørende for resonante svingninger (n < 7.2 Hz) – kaldet steady-state vibrations i FEM-Design – men er af mindre betydning for transiente svingninger.
Inden de øvrige faldgruber gennemgås, opsummeres kort, hvordan FEM-Design beregner svingninger. Grundmodellerne til beregning af resonante og transiente svingninger i FEM-Design er baseret på SCI P354 [2]:
Til beregning af de resonante svingninger (kaldet steady-state i FEM-Design) kan Fourier koefficienterne αh vælges i opsætningen af Footfallanalysen, men beregningsmodellen er den samme. Bemærk markeringerne med lilla, som er vigtige i de efterfølgende afsnit.
1b. Number of footsteps
Number of footsteps benyttes til at beregne resonans opbygningsfaktoren ρ, som er en faktor, der reducerer de resonante svingninger på baggrund af, at det tager tid for en gående person at opbygge resonans. Faktoren giver fysisk mening, men det er vigtigt at være opmærksom på, om svingningerne bør reduceres med denne faktor. Fx fremgår resonans opbygningsfaktoren ikke af beregningsmodellen fra EN 1991-1-1 DK NA:2024 [1]. I Danmark er det normal praksis at regne med én gående person, men hvor denne antagelse forsvares med, at responset til gengæld ikke reduceres for resonansopbygning og for lastens varighed – se fx Betonelement-Foreningens vejledning [3].
Denne faldgrube kan undgås ved at sætte parameteren Number of footsteps højt – fx til 1000.
1c. Lastfrekvens
Minimum frequency og Maximum frequency angiver intervallet for lastfrekvenser.
Ved ganglast anvendes typisk et frekvensspænd fra 1.6-2.4 Hz jf. EN 1991-1-1 DK NA:2024 [1]. Hvis den maksimale bevægelsesfrekvens reduceres til fx 2.2 Hz beregnes kunstigt lave accelerationer ved egenfrekvenser større end 6.6 Hz, og derfor inkluderes der typisk en 4. harmonisk lastkomponent, hvis bevægelsesfrekvensen reduceres. Dette er muligt i FEM-Design, men det er enklere at anvende frekvensspændet på 1.6-2.4 Hz.
Bemærk at FEM-Design som standard angiver 1.8-2.2 Hz, svarende til SCI P354 [2], hvor man til gengæld regner med fire lastharmoniske.
1d. Frekvensopløsning
Frequency Steps angiver opløsningen på frekvensspektret – dvs. antallet af punkter mellem den mindste og den største lastfrekvens. Det er afgørende – særligt ved beregning af resonante svingninger – at der vælges en høj opløsning på 100 eller derover. Det skyldes at der kan være betydelig forskel på svingningernes størrelse – fx for ganglast ved henholdsvis 2.1 Hz og 2.15 Hz, når egenfrekvensen er 4.3 Hz. Højere værdi af Frequency Steps øger beregningstiden.
1e. Frekvensområde
Cut-off eigenfrequency angiver ved, hvilken egenfrekvens FEM-Design sætter grænsen for, hvor højere ordens svingningsformer ignoreres. Bemærk at FEM-Design altid inkluderer én svingningsform med egenfrekvens større end denne grænse.
Hvis denne grænse sættes for lavt, vil der være betydelige egenfrekvenser, som ignoreres. SCI P354 [2] angiver, at etagedæk med egenfrekvenser større end 24 Hz kan betragtes som acceptable ved person-inducerede svingninger.
Denne faldgrube kan undgås ved at sætte Cut-off eigenfrequency til 24 Hz.
1f. Effekt antal personer
Effective number of people angiver det antal personer, som introducerer dynamisk last på konstruktionen, idet der vægtes med svingningsformen. Nedenfor ses uddrag af EN 1991-1-1 DK NA:2024 [1], hvor det effektive antal personer er defineret:
Denne parameter beregnes ikke af FEM-Design og skal beregnes særligt – ofte via simuleret håndregning eller kode, hvor der tages højde for svingningsformen.
Den mest hyppige faldgrube er, at brugeren sammenblander antallet af personer, der går og det effektive antal personer. Brugeren kan fx tro at man ved at sætte Effective number of people til 5 beregner responset ved ganglast fra 5 personer, hvilket ikke er tilfældet.
2. Egenfrekvenser større end 8 Hz ignoreres
Egenfrekvenser større end 8 Hz kan ofte give anledning til vibrationsproblemer – særligt for lette konstruktioner. “8 Hz”-kravet stammer fra EN 1990 DK NA:2024 [4] og er snart et levn fra fortiden. I EN 1990 DK NA:2024 [4] tages der i øvrigt forbehold for at “8 Hz”-kravet ikke sikrer mod vibrationsproblemer for en lang række af konstruktionstyper, herunder lette konstruktioner. Der ligger en udfordring i at afgøre om en konstruktion er “let” og dermed om der er risiko for vibrationsproblemer ved egenfrekvenser større end 8 Hz. Der vil gives bedre vejledning til håndtering af lette konstruktioner i de kommende versioner af EN 1990 DK NA og EN 1991-1-1 DK NA, som vi pt. arbejder på.
Indtil de nye versioner af det Danske Nationale Anneks udarbejdes kan min One-pager: ““Krav til at undgå vibrationsproblemer“ anvendes. Den kan findes her:
https://jsk-vibrations.com/udgivelser/
På One-pageren angives en grænseværdi for de transiente svingninger (> 8 Hz) på R < 16 for etagedæk til boliger og kontorer. Grænseværdien er uafhængig af materialet for den bærende konstruktion, men det vil for de fleste betonkonstruktioner være trivielt at eftervise grænseværdien. Grænseværdien svarer i øvrigt til, hvad der angives for højfrekvente dæk i SCI P354 [2].
For at forstå behovet for et krav til højfrekvente etagedæk inkluderes en række eksempler på etagedæk med brugerklager – se Figur 2 fra SCI P354 [2]. Figur 2 viser 29 eksempler på etagedæk med vibrationsgener, hvor den første egenfrekvens er større end 8 Hz:
3. Eftergivelige understøtninger
Mange vibrationsproblemer i praksis opstår fordi den projekterende har antaget at en understøtning eller en samling er stivere end virkeligheden. Dette er observeret på flere etagedæk og altaner. Det er heldigvis oftest enkelt at modellere fleksible understøtninger i FEM-Design, som eksempelvis bjælker eller galgesøjler.
Se et eksempel Figur 3 eller på min LinkedIn side her.
4. For meget fladelast
Svingningsanalyser kan være kontraintuitivt, da ekstra last/vægt i nogle tilfælde virker til gunst og i andre tilfælde til ugunst. Ekstra last virker til gunst ved resonante svingninger ved egenfrekvenser omkring 6-6.5 Hz samt ved transiente svingninger ved egenfrekvenser større end 8 Hz. Omvendt virker ekstra vægt/last til ugunst i andre frekvensbånd. Ekstra last/vægt virker i øvrigt altid til ugunst for egenfrekvenserne.
Det er derfor vigtigt at undersøge konstruktionen for den mindste og de største realistiske værdier af den frie egenlast og nyttelasten.
5. For stor model
Ud fra vibrationsmålinger, beskrevet i AISC [5], er det konstateret, at gulvbevægelser normalt er begrænset til nogle få fag omkring det fag, der exciteres af menneskelig aktivitet. Dette skyldes dels, at friktionsdæmpning medfører energitab både over afstand og tid. Desuden varierer masse og stivhed fra fag til fag, selv når fagene nominelt er ens, og derfor involverer svingningsformer i praksis typisk kun få fag i bevægelse. I modsætning hertil forudsiger finite element-analyser – især for store dæk med ensartet bærende system og massefordeling – ofte bevægelser over urealistisk store områder. Dette medfører en overvurdering af den modale masse og dermed en ikke-konservativ vurdering af accelerationsresponset.
En simpel tilgang er at inkludere det fag, der vurderes, samt de tilstødende fag. For en vurdering af et indvendigt fag giver dette maksimalt 3×3 fag, jf. AISC [5].
6. Ortotropi af etagedæk
Ortotropi betyder at et etagedæk har forskellig stivhed i længde- og tværretningen. Effekten kan være vanskelig at undersøge uden eksperimenter, men er afgørende for svingninger af mange typer etagedæk, herunder ribbedæk, huldæk og bjælkelag af stål- og træbjælker.
Indflydelsen af ortotropi på egenfrekvenserne er angivet som opmærksomhedspunkt i høringsforslaget til EN 1990 DK NA:202X [4], da denne effekt ofte ikke behandles tilstrækkeligt.
Liu [6] har udført en række vigtige undersøgelser, som kan anvendes til ortotropisk modellering af huldæk. Bemærk at disse undersøgelser er i modstrid med den fejlagtige antagelse om isotrope huldæksfelter, som anvendes i Betonelement foreningens beregningsark. Læs mere om dette i artiklen: “Top 6: De største faldgruber ved analyse af svingninger af huldæk”.
7. Trapper glemmes
Ved ganglast på trapper bør det sikres, at trapperne ikke forårsager generende svingninger af selve trappen, men også af eventuelle etagedæk, som understøtter trappen.
Det er ved flere lejligheder observeret at bygværksprojekterende forsøger at overlevere ansvaret for svingninger af trapper til trappeleverandøren. Dette er muligt for simpelt understøttede trapper, som opføres i betonkerner eller lignende. Men det er vanskeligt for en trappeleverandør at eftervise svingninger, for trapper, som understøttes af bjælker eller dæk. For disse konstruktioner kan trappens svingninger forplante sig til det dæk, der understøtter den, og i nogle tilfælde optræde som generende svingninger for brugerne af etagedækket.
Den simpleste måde at håndtere trapper med fleksible understøtninger er, at opbygge en finite element model af trappen samt understøtning og analysere, hvor stiv trappen skal være. Herefter kan denne stivhed opregnes til et egenfrekvenskrav for en simpelt understøttet trappe, som kan overleveres til trappeleverandøren.
Der vil angives bedre vejledning til dimensionering af trapper for svingninger i de kommende versioner af EN 1990 DK NA:202X og EN 1991-1-1 DK NA:202X, som forventes udgivet i 2. halvdel af 2027.
Webinar: Faldgruber ved svingningsanalyse i FEM-Design
Det fleste af ovenstående faldgruber gennemgås i dette webinar, som jeg er udført i samarbejde med Strusoft.
Referencer
[1]: Det Danske Nationale Anneks til Eurocoden, EN 1991-1-1 DK NA:2024.
[2]: SCI P354: “Design of floors for Vibration: A New Approach”, 2009, Steel Construction institute.
[3]: Betonelement foreningens vejledning: “Vibrationskomfort i dækkonstruktioner”, Juni 2020
[4]: Det Danske Nationale Anneks til Eurocoden, EN 1990 DK NA:2024.
[5]: AISC: T. Murray, D. Allen, E. Ungar, and B. Davis. Steel Design Guide 11 – Vibrations of Steel-Framed Structural Systems Due to Human Activity. AISC, 2016
[6]: Liu F. Battini J., Pascoste C., ”Finite shell element models for the dynamic analysis of hollow core concrete floor”, Magazine of Concrete Research, 2018.